機率分布在不確定性管理中的核心角色與數學基礎說明

我們每天都在猜。今天會不會下雨？這支股票會漲還是會跌？... 老實說，我們生活裡到處都是這種不確定的事。

在充滿數據的世界裡，要怎麼跟這種「隨機性」相處，甚至把它變成可以信賴的預測？答案，嗯... 聽起來有點學術，但其實很直觀，就是「機率分佈」。

重點一句話

機率分佈，我自己是覺得，它就像一副數學眼鏡，幫我們在看似混亂的數據裡，看清楚那個「亂中有序」的模式。

為什麼這東西這麼重要？不只是算命而已

很多人聽到機率，可能就想到賭博或算命。但它在資料科學裡，是一個超級基礎又實用的工具。它不是告訴你「明天股票一定漲」，而是描繪出「各種可能結果的機率地圖」。

說到這個，我分享一個真實世界會發生的狀況。這比單純解釋理論有用多了。

想像一下，你是一個電商網站的分析師，你在看顧客每次購買商品的「數量」。你把幾千筆交易資料拉出來，畫了一張圖，想看看分佈狀況。

理論上，買 1-3 件商品的人應該最多，然後隨著數量增加，人數會平滑地變少。這很合理吧？但你卻在圖上看到一個很詭異的現象...

在「購買 5 件商品」的地方，數量突然不正常地往下掉，然後到 6 件又稍微回來一點。這就像牙齒掉了一顆，很不自然。

這個「凹痕」就是機率分佈給你的線索。它在說：「嘿，這裡有問題。」你可能就會回去追查，是不是當初紀錄資料的工程師手誤，把 `items=5` 的數據弄丟了？還是系統有 bug？

你看，這就不是算命。這是偵探工作。透過預期中的分佈形狀，去揪出現實數據裡的錯誤。這對庫存管理、商業決策都超重要的。

不只這樣，它也是很多機器學習演算法的基礎。還有啊，就像我們看中央氣象署說「降雨機率 80%」，這背後就是一套複雜的機率模型在跑，它也是基於過去大量的氣象數據，去建立一個關於「下雨」這件事的機率分佈。這點跟美國國家氣象局（NWS）的做法很像，都是用機率來溝通不確定性，只是背後的模型和地理參數不同。

那...資料有分種類，分佈當然也有

在談更深入的東西之前，要先知道我們處理的資料基本上分兩種，這會決定你用哪種分佈工具。

• 離散資料 (Discrete Data)：就是那種一個一個，可以數的。像是你骰子丟出去，只會有 1, 2, 3, 4, 5, 6 這幾種結果。你不可能骰出 3.5。或者，一天收到的客訴信件數量、路口經過的車輛數，都是離散的。
• 連續資料 (Continuous Data)：這種資料可以在一個範圍內，切到無限細。例如，人的身高、體重、花費的時間。一個人的身高可以是 175 公分，也可以是 175.1，甚至 175.12345... 公分，只要你的測量工具夠精準。

因為資料有這兩種型態，所以描述它們機率的「語言」也分成兩種。

兩種描述機率的「語言」：PMF vs. PDF

簡單講，PMF 是給離散資料用的，PDF 是給連續資料用的。它們都在做同一件事：描述每個數值出現的可能性有多大。

PMF，全名叫 Probability Mass Function（機率質量函數）。“Mass” 這個字很傳神，你可以想像，機率就像一坨一坨的質量，被「集中」在 1、2、3 這些特定的整數點上。所以你看它的圖，都是一根一根的柱子。

下面這段 Python 程式碼，就是用卜瓦松分佈（Poisson Distribution）來模擬一個離散事件，比如一個客服中心平均每小時接到 3 通電話，那實際接到 0, 1, 2... 通電話的機率各是多少。這在做人力排班或資源規劃時就蠻實用的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from <a href="https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1284242" target="_blank" class="blogHightLight_css nobox">scipy</a>.stats import poisson

# 假設平均每小時接到 3 通電話
lambda_poisson = 3
# 我們想看 0 到 9 通電話的機率
x_discrete = np.arange(0, 10)

# 計算卜瓦松 PMF
pmf_poisson = poisson.pmf(x_discrete, mu=lambda_poisson)

# 算一下「接到電話 <= 2 通」的機率總和
highlight_x = np.arange(0, 3)
highlight_pmf = poisson.pmf(highlight_x, mu=lambda_poisson)
prob_poisson = np.sum(highlight_pmf)

# 畫圖
plt.style.use('seaborn-v0_8-darkgrid') # 讓圖好看一點
fig, ax = plt.subplots()
ax.stem(x_discrete, pmf_poisson, basefmt=" ", linefmt='b-', markerfmt='bo', label='P(X=k)')
ax.stem(highlight_x, highlight_pmf, basefmt=" ", linefmt='r-', markerfmt='ro', label='P(X ≤ 2)')

ax.set_title(f"卜瓦松 PMF (λ=3)\nP(X ≤ 2) 機率 = {prob_poisson:.3f}")
ax.set_xlabel("電話數量 (k)")
ax.set_ylabel("機率 P(X = k)")
ax.legend()
plt.show()

再來是 PDF，全名 Probability Density Function（機率密度函數）。“Density” 密度，就代表機率不是集中在某個點，而是「散佈」在一整個連續的區間上。所以你看它的圖，會是一條平滑的曲線，最有名的就是鐘形的常態分佈（Normal Distribution）。

對於連續資料，問「某個單一點」的機率是沒意義的，因為可能性有無限多個，所以任何一個點的機率都趨近於 0。我們通常問的是「某個範圍」的機率，例如身高在 170 到 180 公分之間的人有多少？這個機率，就是 PDF 曲線底下，從 170 到 180 那段的面積。

下面這段程式碼就是畫一個標準常態分佈（平均值 0，標準差 1），並且計算數值落在 -1 到 1 之間的機率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 標準常態分佈參數
mu, sigma = 0, 1
x_continuous = np.linspace(-4, 4, 1000)

# 計算常態分佈 PDF
pdf_normal = norm.pdf(x_continuous, mu, sigma)

# 計算 P(-1 < X < 1) 的機率
mask = (x_continuous > -1) & (x_continuous < 1)
prob_normal = norm.cdf(1, mu, sigma) - norm.cdf(-1, mu, sigma)

# 畫圖
plt.style.use('seaborn-v0_8-darkgrid')
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x_continuous, pdf_normal, 'b-', lw=2, label='PDF')
ax.fill_between(x_continuous[mask], pdf_normal[mask], alpha=0.3, color='red', label='P(-1 < X < 1)')

ax.set_title(f"常態分佈 PDF (μ=0, σ=1)\nP(-1 < X < 1) 機率 = {prob_normal:.3f}")
ax.set_xlabel("數值 (x)")
ax.set_ylabel("機率密度")
ax.legend()
plt.show()

常見錯誤與修正

老實說，剛接觸的時候，PMF 和 PDF 真的很容易搞混。我自己是覺得，用下面這個表來想會清楚很多。

所以，大致上是這樣。機率分佈不是什麼遙不可及的數學理論，它更像是一種強大的思維工具，幫助我們理解這個充滿不確定性的世界。從發現數據錯誤，到做出更合理的商業預測，都離不開它。

當然，今天只是聊了個大概，各種分佈（常態、卜瓦松、二項...）自己都還有很多細節可以深挖，不過呢，先把這個基礎觀念弄懂，我覺得是最重要的。